Finora si sono sempre considerate variabili discrete; se le variabili sono continue le cose si complicano leggermente.
Se X è una variabile casuale continua che assume tutti i valori reali compresi nell’intervallo [a,b], possiamo definire una funzione F(x) (funzione di ripartizione) definita come la probabilità che la variabile casuale assuma valori inferiori o uguali a x:
F(x)=P(X≤x).
1-F(x) sarà la probabilità contraria, cioè la probabilità che la variabile casuale X assuma un valore maggiore di x.
Con la differenza F(x2)-F(x1) indichiamo la probabilità che la variabile casuale assuma un valore compreso tra x1 e x2 con x1 escluso, cioè x1<x≤ x2.
La densità media di probabilità è il rapporto fra F(x2)-F(x1) e x2-x1, cioè la variazione della F(x) rispetto alla variazione della x.
La densità indica come la probabilità si distribuisce nell’intervallo considerato nell’ipotesi che la distribuzione avvenga in modo uniforme. Affinché sia un’indicazione significativa, dovremo considerare un intervallo abbastanza piccolo [x,x+Δx] in tal modo da ottenere la velocità di variazione della F(x) al variare della x.
Se passiamo al limite con l’intervallo che tende a zero avremo la derivata della funzione F(X); tale derivata si chiama densità di probabilità o semplicemente funzione di densità.
Graficamente, la seguente funzione di ripartizione delle probabilità si riferisce a una variabile che può assumere i valori da -3 a 3.
La derivata di F(x) è la densità di probabilità e, come derivata, è in relazione con il coefficiente angolare della tangente a F(x) nel punto x considerato. Relativamente alla curva precedentemente esposta avremo che nei punti -3 e 3 la derivata sarà nulla mentre avremo un massimo attorno alla zero dove è massimo il coefficiente angolare della tangente. Ciò vuol dire che, nel caso in oggetto, attorno allo zero avremo la massima densità di probabilità, ovvero i valori attorno allo zero hanno valori di probabilità maggiori. Come vedremo, la derivata di una curva di ripartizione come quella appena vista è una gaussiana-like.
Il valore medio si otterrà non più come sommatoria, ma come integrale. Più formalmente, se variabile casuale continua X assume tutti i valori nell’intervallo [a,b] e f(x) è la sua funzione densità e F(x) la sua funzione di ripartizione, X assume (a meno di infinitesimi) il valore x nell’intervallo [a;b] con probabilità dF(x)=f(x)dx.
Il valore medio m(X) sarà dato dall’integrale sull’intervallo [a,b] del prodotto dei valori x della variabile aleatoria per la rispettiva probabilità dF(x)=f(x)dx:
Analogamente per la varianza:
La deviazione standard si calcolerà usualmente come radice quadrata della varianza.
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