I triangoli sono fra le figure piane più semplici: formalmente, un triangolo può essere definito come
la parte di piano comune a tre angoli aventi due a due un lato in comune.
Anche per i triangoli è importante il concetto di congruenza.
- Due triangoli sono congruenti se è possibile sovrapporli con un movimento rigido facendoli coincidere punto per punto.
- Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l’angolo compreso.
- Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due angoli e il lato compreso.
I due criteri di congruenza altro non esprimono il fatto che, se fisso due lati (angoli) e l’angolo (e il lato) compreso, automaticamente restano fissati e unici gli altri elementi (lati e angoli).
In un triangolo è possibile definire la mediana come il segmento che congiunge un vertice al punto medio del lato opposto. Si definisce altezza il segmento più breve (quindi perpendicolare) che unisce un vertice alla retta contenente il lato opposto.
In ogni triangolo la somma delle misure degli angoli interni è uguale a un angolo piatto, cioè a 180°.
Il circocentro è il punto di incontro degli assi dei suoi lati; esso è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo.
L’incentro è il punto di incontro delle bisettrici dei suoi angoli; esso è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo.
L’ortocentro è il punto di incontro delle sue altezze.
Il baricentro è il punto di incontro delle sue mediane. Il concetto di baricentro è molto importante in fisica perché, praticamente, il baricentro è il centro di massa del triangolo: se consideriamo una lamina triangolare composta da una sostanza omogenea e la sospendessimo per il baricentro, la lamina non ruoterebbe e, anche ruotando la lamina, questa resterebbe fissa nella nuova posizione.
I triangoli dotati di proprietà particolari sono:
Perimetro del triangolo
Area e perimetro del triangolo sono calcolabili medianti facili formule.
Una prima misura che possiamo introdurre è il perimetro; termine che in geometria indica la misura della lunghezza del contorno di una figura piana.
Nel caso del triangolo il perimetro è la somma delle misure dei suoi lati. Se il triangolo è equilatero basta moltiplicare la misura di un lato per 3.
Area del triangolo
Nasce spontanea la domanda di misurare l’estensione della sua superficie, cioè di misurare l’area. Nel parlare comune si tende spesso a confondere la misura dell’estensione (l’area, appunto) con l’insieme di punti cui fa riferimento, cioè c’è confusione fra il termine area e il termine superficie.
Ovviamente, per determinare l’area dobbiamo utilizzare un’unità di misura; a seconda degli ambiti, esistono diverse unità di misura; in fisica, per esempio, si può usare il metro quadrato (m2), ma, per esempio, in agraria si può usare l’ettaro (corrispondente a 10.000 metri quadrati).
Senza entrare nei complessi formalismi della teoria della misura, è importante che tutte le grandezze che mettiamo in relazione abbiano la stessa unità di misura; in altri termini, se consideriamo un triangolo non possiamo misurare un lato in centimetri e un’altezza in metri.
Se le grandezze sono espresse nella stessa unità di misura è possibile esprimere le aree delle varie superfici mediante formule, spesso molto semplici.
Per un triangolo, l’area è il semiprodotto della base per l’altezza:
A=b·h/2.
Meno conosciuta è la formula di Erone, che permette di calcolare l’area di un triangolo, conosciute le lunghezze dei lati. Se tali lunghezze sono date da a, b e c, l’area A è data da
dove p è il semiperimetro: p=(a+b+c)/2
La formula può anche scriversi come:
che ha il vantaggio di non usare il semiperimetro, ma è meno immediata da memorizzare.
Per esempio, se i lati sono lunghi 8, 7 e 11, l’area sarà la radice quadrata di 780, cioè circa 27,93.
Alcune formule di calcolo di area si riferiscono a casi di triangoli particolari. Per esempio, in un triangolo equilatero, conosciuta la lunghezza L del lato, l’area è pari a
Se invece si conosce l’altezza H, l’area sarà pari a:
In un triangolo rettangolo, invece, l’area si calcola agevolmente moltiplicando la lunghezza dei due cateti e dividendo per due.
Approfondimenti
Esercizi sui triangoli
1
Un triangolo ha due angoli rispettivamente di 102 e 38 gradi: trovare l’ampiezza del terzo angolo
2
Trovare il valore di x:
3
Calcolare l’area di un triangolo con i lati pari a 24, 30, 18 usando la formula di Erone
4
Calcolare l’area di un triabgolo con base = 20 e altezza = 12
5
Un triangolo equilatero ha il lato di lunghezza 4. Trovare perimetro e area
6
Calcolare l’area di un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 4 e 6
7
Calcolare l’area di un triangolo equilatero di altezza 3
Le soluzioni in fondo alla pagina
Ulteriori approfondimenti: teoremi validi per tutti i triangoli
Esistono alcuni teoremi fondamentali validi per tutti i tipi di triangoli.
Il teorema dei seni (noto anche come teorema di Eulero) esprime una relazione di proporzionalità diretta fra le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni dei rispettivi angoli opposti:
a/sinα=b/sinβ=c/sinγ=(a·b·c)/2S=2r
dove S è l’area del triangolo (che si può calcolare con la formula di Erone a partire dalle lunghezze dei lati) e r è il raggio del cerchio circoscritto.
Il teorema delle proiezioni afferma che in ogni triangolo un lato è uguale alla somma dei prodotti degli altri due lati per il coseno degli angoli compresi fra quei lati e il lato cercato. Per esempio, a=b·cosγ+c·cosβ.
Infine, il teorema di Carnot afferma che in ogni triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati meno il doppio prodotto degli stessi lati per il coseno dell’angolo fra essi compreso. Per esempio: a2=b2+c2-2b·c·cosα.
La trigonometria ha molte applicazioni pratiche. Per esempio è possibile calcolare la distanza fra la Terra e una stella (si veda Le stelle).
Soluzioni
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30 gradi
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42
3
216
4
120
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12
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Manuale di cultura generale – Matematica – Geometria del piano euclideo – I triangoli – Continua
