Un insieme è una collezione di oggetti nella quale esiste un criterio oggettivo che consente di decidere univocamente se un qualunque oggetto fa parte o no della collezione.
Gli oggetti che compongono l’insieme sono detti elementi dell’insieme; se a è un elemento dell’insieme A, si dice che a appartiene ad A e si scrive a∈A.
Un insieme può essere definito per elencazione, indicando tutti gli elementi racchiusi da parentesi graffe, per esempio: A={cane, gatto, cavallo}; eventualmente, se gli elementi dell’insieme sono infiniti e sia evidente il criterio di appartenenza all’insieme, si possono elencare solo i primi e poi usare i puntini di sospensione; per esempio, per indicare l’insieme dei quadrati si scriverà A={1, 4, 9, 16, …}.
Un insieme si può definire anche per proprietà caratteristica, cioè come gli insiemi degli oggetti che godono di una certa proprietà; per esempio, A={x|x è una specie animale} indica l’insieme delle specie animali.
Il numero degli elementi di un insieme è detto cardinalità; un insieme può essere finito o infinito a seconda che il numero dei suoi elementi sia finito o no.
Due insiemi A e B si dicono coincidenti se e solo se hanno gli stessi elementi (sono lo stesso insieme); si dicono disgiunti, se non hanno nessun elemento in comune.
Un insieme B è sottoinsieme di un altro insieme A quando tutti gli elementi di B appartengono anche ad A.
B⊆A; B è sottoinsieme di A;
B⊂A; B è sottoinsieme di A, ma non coincide con a (sottoinsieme proprio).
L’insieme vuoto è l’insieme che non contiene nessun elemento. Si indica con il simbolo ∅ o con due parentesi graffe che non contengono nulla:{}.
L’insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme (incluso sé stesso).
L’insieme universo è l’insieme che contiene tutti gli elementi e tutti gli insiemi esistenti, compreso quindi anche sé stesso e anche l’insieme vuoto.
Manuale di cultura generale – Matematica – Teoria degli insiemi e algebra astratta