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Teoria degli insiemi e algebra astratta

Il testo sottoriportato è protetto dal diritto d’autore e ogni riproduzione (cartacea, elettronica, in Internet) deve essere esplicitamente autorizzata per evitare di incorrere nelle sanzioni previste dalla legge.

Un insieme è una collezione di oggetti nella quale esiste un criterio oggettivo che consente di decidere univocamente se un qualunque oggetto fa parte o no della collezione.

Gli oggetti che compongono l’insieme sono detti elementi dell’insieme; se a è un elemento dell’insieme A, si dice che a appartiene ad A e si scrive a∈A.

Un insieme può essere definito per elencazione, indicando tutti gli elementi racchiusi da parentesi graffe, per esempio: A={cane, gatto, cavallo}; eventualmente, se gli elementi dell’insieme sono infiniti ed è evidente il criterio di appartenenza all’insieme, si possono elencare solo i primi e poi usare i puntini di sospensione; per esempio, per indicare l’insieme dei quadrati si scriverà A={1, 4, 9, 16, …}.

Un insieme si può definire anche per proprietà caratteristica, cioè come gli insiemi degli oggetti che godono di una certa proprietà; per esempio, A={x|x è una specie animale} indica l’insieme delle specie animali.

Il numero degli elementi di un insieme è detto cardinalità; un insieme può essere finito o infinito a seconda che il numero dei suoi elementi sia finito o no.

Due insiemi A e B si dicono coincidenti se e solo se hanno gli stessi elementi (sono lo stesso insieme); si dicono disgiunti, se non hanno nessun elemento in comune.

Un insieme B è sottoinsieme di un altro insieme A quando tutti gli elementi di B appartengono anche ad A.

B⊆A; B è sottoinsieme di A;

B⊂A; B è sottoinsieme di A, ma non coincide con a (sottoinsieme proprio).

L’insieme vuoto è l’insieme che non contiene nessun elemento. Si indica con il simbolo ∅ o con due parentesi graffe che non contengono nulla:{}.

L’insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme (incluso sé stesso).

L’insieme universo è l’insieme che contiene tutti gli elementi e tutti gli insiemi esistenti, compreso quindi anche sé stesso e anche l’insieme vuoto.

Le operazioni sugli insiemi

Le relazioni

Le funzioni

Le strutture algebriche

I semigruppi

I gruppi

Gli anelli

I corpi

I campi

 

Manuale di cultura generale – Matematica – Teoria degli insiemi e algebra astratta

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