Per risolvere un triangolo qualunque vengono in aiuto alcuni teoremi fondamentali.
Il teorema dei seni (noto anche come teorema di Eulero) esprime una relazione di proporzionalità diretta fra le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni dei rispettivi angoli opposti:
a/sinα=b/sinβ=c/sinγ=(a·b·c)/2S=2r
dove S è l’area del triangolo (che si può calcolare con la formula di Erone a partire dalle lunghezze dei lati) e r è il raggio del cerchio circoscritto.
Il teorema delle proiezioni afferma che in ogni triangolo un lato è uguale alla somma dei prodotti degli altri due lati per il coseno degli angoli compresi fra quei lati e il lato cercato. Per esempio, a=b·cosγ+c·cosβ.
Infine, il teorema di Carnot afferma che in ogni triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati meno il doppio prodotto degli stessi lati per il coseno dell’angolo fra essi compreso. Per esempio: a2=b2+c2-2b·c·cosα.
La trigonometria ha molte applicazioni pratiche. Per esempio è possibile calcolare la distanza fra la Terra e una stella (si veda Le stelle).
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