Una delle applicazioni delle matrici e dei determinanti è lo studio dei sistemi di equazioni.
Abbiamo già visto che un sistema può essere impossibile o indeterminato con semplici esempi basati unicamente su considerazioni particolari relative all’esempio in questione. In realtà, è possibile estendere tali considerazioni introducendo il rango di una matrice.
Il rango (o caratteristica) di una matrice è il massimo numero di righe (o colonne) linearmente indipendenti. Verificare l’indipendenza delle righe di una matrice può essere facile e può essere fatto (come sopra) con la semplice osservazione dei valori dei coefficienti; in realtà, non sempre questa osservazione dà risultati attendibili, soprattutto se il numero delle righe aumenta. Esistono pertanto metodi piuttosto complessi per trovare il rango della matrice esaminata e quindi risalire alla caratteristica del sistema associato (per esempio, impossibile o indeterminato).
A partire dal sistema è poi possibile definire due matrici che hanno un’importanza fondamentale per la soluzione del sistema. La matrice incompleta è semplicemente la matrice dei coefficienti delle incognite, mentre quella completa è un’ulteriore matrice ottenuta da quella incompleta aggiungendo a destra la colonna dei termini noti.
Per cui il sistema
avrà come matrice incompleta
e come matrice completa
Il rango gioca un ruolo fondamentale nel teorema di Rouché-Capelli che afferma che esistono soluzioni per il sistema se e solo se il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta.
Quando il sistema ha una sola soluzione, questa può essere esplicitata usando il determinante, mediante la regola di Cramer. In generale, la regola ci dice che per l’incognita i-esima vale:
xi=det(Ai)/det(A)
dove Ai è la matrice formata sostituendo la i-esima colonna di A con il vettore c dei termini noti.
Vediamo come funziona la regola per un sistema di tre equazioni in tre incognite. Innanzitutto occorre sapere quanto vale il determinante di una matrice 3×3. Come per la matrice 2×2, non è necessario ricorrere a complessi metodi di calcolo, basta usare la regola di Sarrus che, seppur complessa, è di facile e immediata applicazione. Tale regola dice che il determinante della matrice
è dato da aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg.
Mnemonicamente il tutto si riduce a replicare la matrice
ABCABC
DEFDEF
GHIGHI
e considerare le diagonali (la prima è indicata in grassetto, le altre sono parallele) da sinistra verso destra per i tre termini positivi e da destra verso sinistra per i tre termini negativi, sempre partendo dal valore a.
Con la regola di Sarrus otteniamo che il valore del determinante della matrice incompleta (quella dei coefficienti delle incognite) del precedente esempio di 3 equazioni in 3 incognite è -99. Per la variabile y (la seconda) si deve calcolare il determinante della matrice
dove abbiamo sostituito la seconda colonna con quella dei termini noti. Usando la regola di Sarrus si ottiene che il determinante è -99. Quindi, applicando la regola di Cramer, il rapporto per l’incognita y sarà -99/-99=1. Analogamente si trovano i valori di x e z, rispettivamente 2 e 3.
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