Proprietà e teoremi

Cominciamo con alcuni enunciati molto intuitivi.

• La probabilità dell’evento impossibile è nulla; P∅)=0.
• La probabilità di un evento è uguale a 1 meno quella dell’evento contrario, Formalmente, dato un qualunque insieme A appartenente ad S, 1=P(S)=P(A∪A^C)=P(A)+P(A^C); da questa si ricava appunto P(A)=1-P(A^C).
• La probabilità di un evento è sempre compresa fra 0 e 1.
• Se A è contenuto in B, allora la probabilità dell’evento A è minore della probabilità dell’evento B.

Additività – La probabilità che si verifichi l’evento A oppure l’evento B è data dalla somma delle probabilità dei singoli eventi meno la probabilità del loro verificarsi in contemporanea (nel caso in cui gli eventi siano incompatibili, cioè o si verifica l’uno o si verifica l’altro, tale probabilità è nulla):

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

Proprietà condizionata – Si definisce probabilità condizionata dell’evento B rispetto all’evento A la probabilità che si verifichi l’evento B dopo che si è verificato l’evento A; si indica con P(B|A). Si può dimostrare che

P(B|A)= P(A∩B)/P(A).

Formula analoga vale per P(A|B).

Proprietà moltiplicativa – La probabilità del prodotto di due eventi à uguale al prodotto fra la probabilità del primo e la probabilità del secondo condizionata al fatto che il primo evento sia accaduto:

P(A∩B)=P(A)·P(B|A)=P(B)·P(A|B).

Si supponga di calcolare la probabilità che da un mazzo di 52 carte si estraggano di seguito due assi. P(A) varrà 4/52 mentre P(B|A) varrà 3/51, quindi 12/(52·51) cioè il 4,52% circa.

Teorema della probabilità totale – Se gli eventi A e B sono tra loro mutualmente incompatibili ed E è un evento che può accadere solamente associato a uno dei due precedenti, allora vale il teorema della probabilità totale:

P(E )=P(A)·P(E|A)+P(B)·P(E|B).

Il teorema può essere generalizzato con n eventi. Per esempio, se si lancia un dado, e si indicano con A₁…A₆ gli eventi “esce 1”, …, “esce 6”, gli eventi sono a due a due incompatibili e hanno ciascuno probabilità pari a 1/6. La probabilità dell’evento “ottengo un numero maggiore di 4” è P(A₅∪A₆)=1/6+1/6=1/3.

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