Addizione e sottrazione – Si fanno normalmente sommando e sottraendo i monomi simili, lasciando cadere prima le parentesi (ricordando che il segno meno davanti alla parentesi cambia, per la regola dei segni, il segno ai monomi contenuti nella parentesi). Per esempio, 2x2+xy-y2-(-3x2+4x-2y2-5y) fa 5x2-4x+xy+y2+5y.
Moltiplicazione – Se si fa il prodotto di un monomio per un polinomio basta applicare la proprietà distributiva: 3x2(4x+y) fa 12x3+3x2y. Se si fa il prodotto di due polinomi basterà moltiplicare tutti i monomi del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio e poi fare la somma. Per esempio:
(2x+y)(3x2+2x+xy+y)=6x3+4x2+2x2y+2xy+3x2y+2xy+xy2+y2=6x3+4x2+5x2y+4xy+xy2+y2.
Esistono dei prodotti (denominati notevoli) che semplificano molto l’approccio al calcolo polinomiale.
(x+y)(x-y)=x2-y2
(x-y)( x2+xy+y2)=x3-y3
(x+y)2=x2+2xy+y2
(x-y)2= x2-2xy+y2
(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3
(x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3
(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab.
Divisione di polinomi – Per eseguire la divisione fra un polinomio e un monomio basterebbe dividere tutti i termini del polinomio per il monomio. In realtà, come nel caso dei monomi, non sempre la divisione è possibile. Se poi si considerano due polinomi, anche se la divisione è possibile come nel caso di (2x2+3x+4)/(2x+1), i metodi (metodo canonico, triangolo di Tartaglia, metodo di Ruffini) sono molto complessi e raramente vengono impiegati in applicazioni pratiche.
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