La misurazione degli angoli non può essere fatta a partire dall’area racchiusa che è evidentemente infinita. Considerando la nozione di convessità e quella di bisettrice, si possono, per esempio, definire l’angolo giro (come l’angolo concavo corrispondente a uno convesso di ampiezza nulla) e l’angolo piatto (la metà dell’angolo giro, corrispondente a un semipiano). Analogamente si può definire l’angolo retto come un angolo convesso che ha i suoi due lati ortogonali, ovvero un angolo retto è la metà di un angolo piatto.
Un angolo convesso si dice acuto se è contenuto in un angolo retto avente il suo stesso vertice. Un angolo convesso contenente un angolo retto avente lo stesso vertice si dice invece angolo ottuso.
Queste definizioni sono però ancora qualitative e molto distanti da una misurazione numerica. Il problema si risolve non considerando la misura dell’angolo in sé, ma quella dell’ampiezza del movimento che porta una delle semirette a sovrapporsi all’altra.
Nel sistema sessagesimale l’angolo completo (angolo giro) è suddiviso in 360 spicchi, equivalenti all’unità di misura convenzionale denominata grado sessagesimale, indicata col simbolo °.
La suddivisione in 360 parti dell’angolo giro ha origine astronomiche in quanto i babilonesi identificarono il giro del Sole sulla volta celeste nell’allora stimato tempo di 360 giorni.
L’aggettivo “sessagesimale” deriva dal fatto che le sottounità del grado, il minuto e il secondo, sono divise in sessantesimi; perciò, come nell’orologio, ogni grado è diviso in 60 minuti primi indicati col simbolo ‘, e ogni minuto è diviso in 60 minuti secondi indicati col simbolo ”. Ulteriori suddivisioni del secondo seguono il normale sistema decimale. Pertanto un angolo può avere un’ampiezza espressa come 24°12’34,4″.
Sono stati proposti altri sistemi di misurazione, ma l’unico veramente alternativo al sistema sessagesimale è il sistema radiante (o sistema matematico). Il radiante, inteso come rapporto tra la lunghezza di un arco di circonferenza e il raggio della circonferenza stessa, in quanto questo rapporto non dipende dal raggio, ma solo dall’angolo compreso. In tal modo, l’angolo giro misura 2π, cioè il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo raggio.
La relazione che lega il sistema radiante e il sistema sessagesimale e permette il passaggio da uno all’altro è:
180°/α=π/x
dove α è la misura dell’ampiezza dell’angolo espresso in gradi, e x è la misura espressa in radianti.
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