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Matrici e determinanti

Il testo sottoriportato è protetto dal diritto d’autore e ogni riproduzione (cartacea, elettronica, in Internet) deve essere esplicitamente autorizzata per evitare di incorrere nelle sanzioni previste dalla legge.

Una matrice mxn è una tabella ordinata di elementi disposti su m righe ed n colonne. Per esempio:

Gli elementi della matrice sono indicati con la lettera a e due pedici, il primo indica la riga e il secondo la colonna. Così il termine a36 indica il termine che compare nella terza riga sesta colonna.

Le matrici possono essere racchiuse da linee dritte o doppie oppure racchiuse da grandi parentesi curve o quadre (come sopra), secondo varie modalità di rappresentazione.

Una matrice costituita da una sola riga (a1, a2, …, an) si dice vettore (con n elementi).

Se la matrice ha lo stesso numero (n) di righe e di colonne si dice matrice quadrata di ordine n.

La matrice trasposta si ottiene scambiando tra loro le righe e le colonne.

Particolare importanza ha il determinante di una matrice quadrata, un numero che descrive alcune proprietà algebriche e geometriche della matrice. In genere viene indicato con una singola linea dritta:

dove gli elementi aij sono numeri reali.

Il calcolo del determinante di una matrice può essere molto difficile all’aumentare del numero di righe e di colonne e vengono usati metodi (sviluppo di Laplace, algoritmo di Gauss) piuttosto complessi. In genere, limitandosi a matrici di ordine 2×2 si ha che:

cioè è la differenza delle due diagonali. Come proprietà generali di facile memorizzazione:

  • il determinante di una matrice e quello della sua trasposta sono uguali;
  • se tutti gli elementi di una riga (o di una colonna) sono nulli, allora il determinante è nullo (la matrice a determinante nullo è detta singolare);
  • se la matrice ha due righe (o colonne) eguali, o proporzionali, allora il determinante è nullo.

 

Manuale di cultura generale – Matematica – Algebra – Matrici e determinanti – Continua

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