Grazie ai concetti di limiti e di derivata possiamo conoscere una funzione in un punto e nell’intorno di esso; estendendo la ricerca vediamo di scoprire altre informazioni sulla funzione.
Sappiamo già che, se in un intervallo la derivata è positiva (negativa), allora nell’intervallo la funzione sarà crescente (decrescente).
Se facciamo sempre mente locale al grafico della funzione, essa avrà un massimo quando, dopo essere salita, comincerà a discendere; in altri termini, cambierà quindi la sua pendenza quando la derivata passerà da positiva a negativa, passando per un valore nullo.
Formalmente, se la funzione è continua e derivabile in un intorno completo di x0 allora la tangente in x0 sarà orizzontale, la derivata avrà valore nullo.
Stessa cosa succederà in un punto di minimo, anche in questo caso la derivata avrà valore nullo.
Esiste un terzo caso in cui la derivata vale zero, cioè nei punti di flesso, dove la curva cambia concavità e la tangente attraversa la curva.
Per sapere se in un punto dove la derivata prima è nulla devo studiare il segno della derivata nell’intorno del punto. Se, per esempio, la derivata è nulla per x=5 e per x>5 la derivata è positiva cioè la funzione cresce, mentre è negativa per x<5, vorrà dire che 5 è un punto di minimo. Analogamente per i punti di massimo.
Nei punti di flesso troverò che la derivata è positiva sia prima sia dopo il punto 5, per esempio perché la derivata è rappresentata da un quadrato che è sempre positivo (y’=4x2).
Un altro metodo per studiare massimi, minimi e flessi è di analizzare le derivate successive. Nei punti in cui la derivata prima è nulla, se la prima derivata diversa da zero è di ordine pari ed è positiva, avremo un minimo, se è negativa, avremo un massimo; se la prima derivata diversa da zero è di ordine dispari ed è positiva, avremo un flesso ascendente, se è negativa, avremo un flesso discendente.
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