Il concetto di integrale è fondamentale per risolvere il calcolo delle aree. Si supponga di dover determinare l’area sottesa da una certa curva, per esempio l’area della parabola per valori positivi delle y, cioè l’area contenuta nel primo quadrante.
L’area si potrebbe calcolare sommando tutti i rettangoli elementari che si costruiscono all’interno della parabola. Più la base dei rettangoli diventa piccola e più il calcolo dell’area della parabola diventa preciso.
Si definisce l’integrale come il limite della sommatoria dell’area dei rettangoli interni quando si suddivide il segmento di base in infiniti intervalli. Formalmente:
L’integrale si indica con:
dx rappresenta l’infinitesima base del rettangolo.
Un importantissimo teorema afferma che
la derivata della funzione integrale è uguale alla funzione di partenza.
Cioè, l’integrale è l’operazione inversa della derivata. In tal senso si parla di integrale indefinito, cioè a prescindere dall’intervallo in cui si calcola, ma semplicemente come operazione su una funzione.
Nell’analogia fisica, se si considera il grafico della velocità rispetto al tempo, l’integrale della curva rappresenterà lo spazio percorso dal mobile. Se la velocità è costante (cioè il grafico è una parallela all’asse delle ascisse), l’area del rettangolo sarà proprio s=v·t, dove t rappresenta il tempo in cui calcoliamo lo spazio percorso e v è l’ordinata del nostro grafico.
Quindi, se derivo lo spazio rispetto al tempo ottengo la velocità e se integro la velocità rispetto al tempo ottengo lo spazio percorso.
Tenendo conto dell’inversione dell’operazione otteniamo subito gli integrali più comuni. Per esempio:
Si noti che si aggiunge una costante c perché, se si derivano entrambi i membri, la costante scompare (la derivata di una costante è zero). Quindi l’integrale indefinito è specificato a meno di una costante. Per esempio, rovesciando quanto abbiamo indicato per le derivate più comuni troviamo:
Manuale di cultura generale – Matematica – Analisi – L’integrale – Continua
