In analisi, il concetto di limite permette di descrivere l’andamento di una funzione all’approssimarsi del suo argomento a un dato valore oppure l’andamento di una successione quando l’indice cresce illimitatamente. In questo articolo sui limiti vedremo
- Limite di una funzione
- Limite di una successione
- Teoremi sui limiti
- Operazioni sui limiti
Limite di una funzione
Il limite di una funzione in un punto di accumulazione x0 per il suo dominio esprime la quantità a cui tende il valore assunto dalla funzione all’avvicinarsi del suo argomento a x0. Indicando con f(x) la funzione, il limite viene indicato con la notazione:
In altri termini, dire che il limite è l significa che quando il valore di x si avvicina a x0 (la notazione è x→x0), il valore assunto dalla funzione si avvicina a l. Da notare che l può essere finito, infinito o non esistere.
Tutto ciò sembra molto astratto, ma è necessario per descrivere casi particolari. Per esempio, per una banale funzione del tipo y=x+5, è intuitivo capire che, se x si avvicina a 3, y si avvicinerà a 8.
La definizione classica di limite esprime proprio questo concetto di avvicinamento.
Si dice che la funzione y=f(x) ammette limite finito l per x tendente a x0, se per ogni numero positivo ε piccolo a piacere esiste un numero δε tale che da
|f(x)-l|<ε segua |x-x0 |<δε.
Un caso particolarmente importante è quando la variabile tende al valore infinito. Ecco un esempio di calcolo di una funzione per x tendente a + infinito:
L’espressione presenta la forma indeterminata di
Per risolverla si raccoglie al numeratore e denominatore x2, ricordando che infiniti allo stesso ordine si possono semplificare:
Il concetto di limite e quello di infinito
Nello studio delle funzioni possiamo trovare il concetto di infinito in varie circostanze. Per comprenderle è opportuno riferirsi al piano cartesiano.
- Può esserci una curva che per un certo valore della x nel piano cartesiano tende all’infinito.
- Può esserci una curva che tende a un limite finito l per x che tende all’infinito (cioè spostandosi sempre più a destra sulle ascisse)
- Infine può esserci una curva che tende all’infinito per x che tende all’infinito.
In questa immagine
siamo nel primo caso, la curva tende all’infinito per x=-0,4.
In quest’altra immagine siamo nel secondo caso
la curva tende a 0 per x→∞.
Limite di una successione
Il limite di una successione è il valore a cui tendono i termini di una successione. Formalmente, un numero reale l è il limite di una successione di numeri reali a1, a2, …, an se la distanza fra i numeri an-l, data dal valore assoluto |an-l|, è arbitrariamente piccola quando n è sufficientemente grande, cioè
limn→∞an=l
e si dice che la successione converge a l; la successione è detta convergente se il limite è finito, altrimenti è detta divergente.
Se l=0, la successione è detta infinitesima.
Anche per le successioni valgono i teoremi già visti per i limiti (unicità e permanenza del segno).
Teoremi sui limiti
Si possono dimostrare importanti teoremi sui limiti. Fra questi:
- teorema dell’unicità del limite – Se esiste, il limite di una funzione in un punto è unico.
- Teorema della permanenza del segno – Se una funzione ha limite non nullo, esiste tutto un intervallo dove la funzione ha lo stesso segno del suo limite.
Operazioni sui limiti
In modo molto semplice si scopre che per somma, differenza, prodotto e quoziente, il limite dell’operazione è uguale all’operazione sui limiti, cioè, per esempio, il limite di un prodotto di funzioni è uguale al prodotto dei limiti (per il quoziente il limite della funzione al denominatore non deve essere nullo).
Pertanto, le operazioni che si possono fare sui limiti sono molto semplici e intuitive. Per esempio, si può dimostrare che se due funzioni f(x) e g(x) tendono, rispettivamente, a due valori reali finiti α e β, al tendere della variabile x a x0, allora si può dimostrare che:
il limite della somma è pari alla somma dei limiti, ovvero
La stessa cosa si può dire del prodotto:
e del quoziente, definito solo per β diverso da zero.
Le stesse proprietà delle operazioni sui limiti valgono anche nel caso in cui x tenda a meno o più infinito.
Approfondimenti
Esercizi sui limiti
Calcolare il limite per x tendente all’infinito delle seguenti funzioni:
Le soluzioni sono in fondo alla pagina
Ulteriori approfondimenti: limiti notevoli
Ecco alcuni limiti particolari che vale la pena memorizzare e sono detti limiti notevoli:
Per esempio, per la funzione seno vale
PEr quella coseno:
Infine l’importante limite notevole:
nell’ultimo caso, il limite è il numero di Nepero (o anche di Eulero), un numero irrazionale con infinite cifre dopo la virgola, in genere approssimato al valore 2,72. Si tratta di una delle costanti matematiche più importanti, assieme a pi greco.
Soluzioni
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