Limiti

In analisi, il concetto di limite permette di descrivere l’andamento di una funzione all’approssimarsi del suo argomento a un dato valore oppure l’andamento di una successione quando l’indice cresce illimitatamente. In questo articolo sui limiti vedremo

• Limite di una funzione
• Limite di una successione
• Teoremi sui limiti
• Operazioni sui limiti

Limite di una funzione

Il limite di una funzione in un punto di accumulazione x₀ per il suo dominio esprime la quantità a cui tende il valore assunto dalla funzione all’avvicinarsi del suo argomento a x₀. Indicando con f(x) la funzione, il limite viene indicato con la notazione:

In altri termini, dire che il limite è l significa che quando il valore di x si avvicina a x₀ (la notazione è x→x₀), il valore assunto dalla funzione si avvicina a l. Da notare che l può essere finito, infinito o non esistere.

Tutto ciò sembra molto astratto, ma è necessario per descrivere casi particolari. Per esempio, per una banale funzione del tipo y=x+5, è intuitivo capire che, se x si avvicina a 3, y si avvicinerà a 8.

La definizione classica di limite esprime proprio questo concetto di avvicinamento.

Si dice che la funzione y=f(x) ammette limite finito l per x tendente a x₀, se per ogni numero positivo ε piccolo a piacere esiste un numero δ_ε tale che da

|f(x)-l|<ε segua |x-x₀ |<δ_ε.

Un caso particolarmente importante è quando la variabile tende al valore infinito. Ecco un esempio di calcolo di una funzione per x tendente a + infinito:

L’espressione presenta la forma indeterminata di

Per risolverla si raccoglie al numeratore e denominatore x², ricordando che infiniti allo stesso ordine si possono semplificare:

Il concetto di limite e quello di infinito

Nello studio delle funzioni possiamo trovare il concetto di infinito in varie circostanze. Per comprenderle è opportuno riferirsi al piano cartesiano.

1. Può esserci una curva che per un certo valore della x nel piano cartesiano tende all’infinito.
2. Può esserci una curva che tende a un limite finito l per x che tende all’infinito (cioè spostandosi sempre più a destra sulle ascisse)
3. Infine può esserci una curva che tende all’infinito per x che tende all’infinito.

In questa immagine

siamo nel primo caso, la curva tende all’infinito per x=-0,4.

In quest’altra immagine siamo nel secondo caso

la curva tende a 0 per x→∞.

Limite di una successione

Il limite di una successione è il valore a cui tendono i termini di una successione. Formalmente, un numero reale l è il limite di una successione di numeri reali a₁, a₂, …, a_n se la distanza fra i numeri a_n-l, data dal valore assoluto |a_n-l|, è arbitrariamente piccola quando n è sufficientemente grande, cioè

lim_n→∞a_n=l

e si dice che la successione converge a l; la successione è detta convergente se il limite è finito, altrimenti è detta divergente.

Se l=0, la successione è detta infinitesima.

Anche per le successioni valgono i teoremi già visti per i limiti (unicità e permanenza del segno).

Teoremi sui limiti

Si possono dimostrare importanti teoremi sui limiti. Fra questi:

• teorema dell’unicità del limite – Se esiste, il limite di una funzione in un punto è unico.
• Teorema della permanenza del segno – Se una funzione ha limite non nullo, esiste tutto un intervallo dove la funzione ha lo stesso segno del suo limite.

Operazioni sui limiti

In modo molto semplice si scopre che per somma, differenza, prodotto e quoziente, il limite dell’operazione è uguale all’operazione sui limiti, cioè, per esempio, il limite di un prodotto di funzioni è uguale al prodotto dei limiti (per il quoziente il limite della funzione al denominatore non deve essere nullo).

Pertanto, le operazioni che si possono fare sui limiti sono molto semplici e intuitive. Per esempio, si può dimostrare che se due funzioni f(x) e g(x) tendono, rispettivamente, a due valori reali finiti α e β, al tendere della variabile x a x₀, allora si può dimostrare che:

il limite della somma è pari alla somma dei limiti, ovvero

La stessa cosa si può dire del prodotto:

e del quoziente, definito solo per β diverso da zero.

Le stesse proprietà delle operazioni sui limiti valgono anche nel caso in cui x tenda a meno o più infinito.

Approfondimenti

Esercizi sui limiti

Calcolare il limite per x tendente all’infinito delle seguenti funzioni:

Le soluzioni sono in fondo alla pagina

Ulteriori approfondimenti: limiti notevoli

Ecco alcuni limiti particolari che vale la pena memorizzare e sono detti limiti notevoli:

Per esempio, per la funzione seno vale

PEr quella coseno:

Infine l’importante limite notevole:

nell’ultimo caso, il limite è il numero di Nepero (o anche di Eulero), un numero irrazionale con infinite cifre dopo la virgola, in genere approssimato al valore 2,72. Si tratta di una delle costanti matematiche più importanti, assieme a pi greco.

Soluzioni

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