Le operazioni sulle derivate si possono implementare a partire dalla definizione (calcolando cioè il limite del rapporto incrementale), ma è molto più facile partire dalla conoscenza di derivate di funzioni molto comuni e poi applicare alcune regole riguardanti le operazioni fondamentali come somma, prodotto ecc. Se, per esempio, devo calcolare la derivata della funzione y=x2·sinx, mi basta conoscere la derivata di x2, quella di sinx e la regola della derivata del prodotto di due funzioni.
Ecco alcune derivate molto comuni:
- y=costante y’=0
- y=x y’=1
- y=xn y’=nxn-1
- y=sinx y’=cosx
- y=cosx y’=-sinx
- y=tanx y’=1/cos2x o y’=1+tan2x
- y=ex y’=ex
- y=ax y’=axloga
- y=logx y’=1/x.
La derivata di una somma (o differenza) di funzioni è la somma (differenza) delle derivate delle singole funzioni.
Prodotto – Se y=f(x)·g(x) allora y’=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x).
Quoziente – Se y=f(x)/g(x) allora
Funzione di funzione – Se y=f(g(x)) allora y’=f'(g(x))·g'(x).
Per calcolare quindi la derivata di y=x2·sinx, usando la formula che dà la derivata del prodotto, avremo y’=2xsinx+x2cosx.
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