Supponiamo di considerare un cono (che potremmo pensare generato da tutte le rette che congiungono i punti di una circonferenza con un punto non giacente nel piano della circonferenza stessa, detto vertice; l’asse del cono è la perpendicolare del vertice sulla circonferenza; le rette sono dette generatrici) e di tagliarlo con una lama piana. A seconda dell’angolo di incidenza della lama otterremo diverse figure geometriche.
Una conica è una curva algebrica che si ottiene intersecando la superficie di un cono retto indefinito con un piano non passante per il vertice; a seconda dell’angolo formato dal piano con l’asse del cono si hanno l’ellisse, la circonferenza, la parabola e l’iperbole.
- Ellisse: si ottiene intersecando il cono con un piano che con il suo asse forma angoli compresi fra 0 e 90°; ciascuna di tali intersezioni appartiene a una sola delle due falde del cono ed è una curva chiusa.
- Circonferenza: caso particolare di ellisse ottenuta dall’intersezione del cono con un piano perpendicolare al suo asse, è anch’essa curva chiusa.
- Parabola: si ottiene per intersezione del cono con un piano parallelo a una delle sue rette generatrici (l’angolo formato con l’asse della conica è nullo); ogni parabola appartiene a una sola delle falde del cono e non è una curva chiusa.
- Iperbole: si ottiene per intersezione del cono con un piano che formi con il suo asse un angolo inferiore a zero; anche l’iperbole è una curva aperta e, siccome il piano interseca entrambe le falde del cono, essa si bipartisce in due sottoinsiemi connessi detti rami della conica.
L’equazione generica di una conica è un’equazione di secondo grado ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0.
L’espressione Δ=b2-4ac consente di capire che tipo di curva è rappresentata dall’equazione.
- se Δ>0 è un’iperbole
- se Δ<0 è un’ellisse (caso particolare la circonferenza)
- se Δ=0 è una parabola.
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