Il concetto di limite ci permette di capire cosa capita alla funzione in un punto. Per riferirci a un caso concreto, fissiamo le idee su un grafico che tutti conoscono, per esempio il valore di un indice di borsa, il valore di un’azione. Anche chi non è particolarmente ferrato in matematica ormai sa che se il grafico sale, l’azione sta guadagnando, se scende, l’azione sta perdendo.
Se però si conosce solo il valore in un punto (per esempio, l’azione vale 1,20 euro), cosa si può dire sulla decisione di aver acquistato o no quell’azione? Nulla. Sarebbe interessante capire anche se l’azione è salita nell’ultimo periodo. Il caso migliore sarebbe addirittura se fosse possibile prevedere l’andamento futuro del grafico.
L’esempio mostra che non è particolarmente interessante conoscere il valore in un punto, ma che sarebbe interessante conoscere l’andamento della funzione in quel punto. Ci viene in aiuto il concetto di derivata.
Per capire cosa sia una derivata, consideriamo la rappresentazione grafica di una funzione, per esempio l’incremento dei valori della nostra azione nel tempo. Il grafico sarà una curva che va su (l’azione vale di più, l’investitore ci guadagna) e giù (l’azione vale di meno, l’investitore ci perde).
Possiamo dire, per esempio, che in un anno l’azione ha perso il 20% del suo valore; all’inizio del periodo considerato valeva 1 euro, alla fine vale 0,80 euro.
Più riduciamo il periodo considerato, più tendiamo a chiederci quale sia l’andamento dell’azione nel breve, brevissimo periodo. L’azione tende a salire o a scendere? Se il periodo tende a zero, avremo un’indicazione “istantanea” di cosa sta facendo l’azione.
La derivata è appunto il limite del rapporto (detto incrementale) fra la differenza dei valori assunti dall’azione in un intervallo di tempo quando questo intervallo tende a zero.
La derivata sarà positiva se l’azione sale, negativa se l’azione scende. In un certo punto, quindi, la “pendenza” della curva dà il segno della derivata. Se la curva sale, la derivata è positiva, se scende, è negativa.
Formalmente, definiamo rapporto incrementale di una funzione f(x) nel punto x0 il rapporto
Si definisce derivata di una funzione in un punto x0 il limite (se esiste ed è finito) del rapporto incrementale al tendere a zero dell’incremento h.
La derivata di una funzione in genere si indica con un apostrofo diritto: f'(x) è la derivata di f(x); y’ è la derivata della funzione y=f(x) ecc.
Manuale di cultura generale – Matematica – Analisi – La derivata – Continua
