L’iperbole è definita come
il luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.
Formule dell’equazione
L’equazione canonica (regolare) è analoga a quella dell’ellisse solo che invece del segno + ha il segno – (anche b è definito in modo opposto all’ellisse). In realtà, esistono diverse formule, a seconda che la curva intersechi l’asse delle ascisse o delle ordinate. Per un’iperbole con gli assi coincidenti con gli assi cartesiani e il centro quindi nell’origine, e che interseca l’asse delel ascisse, la formula è la seguente:
x2/a2-y2/b2=1, con a e b entrambi non nulli
Se invece la curva interseca l’asse delle ordinate, la formula diventa:
x2/a2-y2/b2= – 1, con a e b entrambi non nulli
Un’interessante proprietà è che nella forma canonica è una curva simmetrica rispetto all’origine, tutta compresa fra gli asintoti.
I parametri che caratterizzano questa conica sono:
Gli asintoti, di equazione:
y=bx/a e y=-bx/a.
L’eccentricità e=c/a che indica il ventaglio, l’apertura dei rami.
I vertici, che per una curva che interseca l’asse delle x hanno coordinate:
(-a, 0) e (+a, 0)
I fuochi, con coordinate:
(-c, 0) e (+c, 0) dove c è detta semidistanza focale e vale:
Nella figura sono rappresentati i due rami di un’iperbole che interseca l’asse delle ascisse e simmetrica rispetto agli assi cartesiani, centrata nell’origine:
Approfondimenti
Esercizi sull’iperbole
1
Calcolare le equazioni degli asintoti dell’iperbole:
2
Calcolare le coordinate dei fuochi dell’iperbole:
3
Calcolare l’eccentricità dell’iperbole di equazione:
4
Calcolare coordinate di fuochi, vertici ed eccentricità dell’iperbole di equazione:
2x2 – 3y2 = 30
5
Calcolare coordinate di fuochi, vertici ed eccentricità dell’iperbole di equazione:
4x2 – 3y2 -8x – 8 = 0
Le soluzioni in fondo alla pagina
Ulteriori approfondimenti: l’iperbole equilatera
In un’iperbole equilatera le misure dei semiassi coincidono, ovvero a = b. La sua equazione pertanto è del tipo:
x2 – y2 = a2
nel caso in cui intersechi l’asse delle ascisse, oppure
x2 – y2 = -a2
nel caso in cui intersechi l’asse delle ordinate.
Se invece l’iperbole è tale per cui i suoi asintoti corrispondono agli assi cartesiani, allora l’equazione dell’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti si semplifica in
xy = k, con k sempre diverso da zero.
Il segno di k poi determina se la curva interseca la bisettrice del primo e terzo quadrante (k > 0) o quella del secondo e quarto quadrante (k <0).
Soluzioni
1
2
(-5.47, 5), (3.47, 5)
3
I parametri valgono a = 12, b = 9, c = 15 , pertanto l’eccentricità è pari a 15/12 ovvero 5/4
4
L’equazione si riscrive dividendo entrambi per 30:
5
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