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I radicali

Il testo sottoriportato è protetto dal diritto d’autore e ogni riproduzione (cartacea, elettronica, in Internet) deve essere esplicitamente autorizzata per evitare di incorrere nelle sanzioni previste dalla legge.

Nella sezione Aritmetica abbiamo definito il radicale (radice) di un numero (intero, razionale ecc.). In algebra, i radicali possono essere parti di espressioni algebriche e quindi è importante comprendere come si gestiscono le operazioni che li contengono. Ricordiamo che si definisce radice ennesima di un numero a quel numero b che elevato a potenza n dà a; l’indice del radicale è n mentre a è il radicando. Per maggiore chiarezza gli esempi che faremo sono per lo più numerici, ma in algebra il radicando può essere letterale come nell’espressione del tipo

3√a+3√a2.

Equivalenza – Due radicali si dicono equivalenti se, moltiplicando o dividendo sia l’indice di radice che l’esponente del radicando per uno stesso numero, si trasformano l’uno nell’altro. Così 4√252 è equivalente a 2√25 perché si passa dal primo al secondo dividendo indice ed esponente per 2.

Somma e differenza – Si può solo sommare (sottrarre) termini con radicali uguali (con procedimento simile a quello della somma di monomi). Per cui

3 3√8 + 4 3√4+ 5 3√8 fa 8 3√8+ 4 3√4.

Prodotto – Se i radicandi hanno lo stesso indice, si moltiplicano fra loro i coefficienti e fra loro i radicandi mentre l’indice resta invariato:

3 3√7 . 5 3√9=15 3√63.

Se gli indici sono diversi, occorre prima trasformarli nello stesso indice utilizzando il minimo comune multiplo degli indici. Per esempio, 3√13 e 4√18, poiché 3 e 4 hanno come minimo comune multiplo 12, diventano 12√134 e 12√183.

Quoziente – Funziona come il prodotto, con la necessità di trasformare i radicali nello stesso indice se hanno originariamente indice diverso.

Elevamento a potenza – Si eleva a potenza il radicando. Per esempio:

(5√2)3=5√8.

Estrazione dalla radice – In algebra è un’operazione molto utile e serve per semplificare le espressioni. Si consideri, per esempio, che il risultato di un’operazione sia 4√147. Come si vede, l’esponente del radicando è superiore alla radice. Si fa la divisione fra l’esponente e l’indice. Il resto della divisione è il nuovo esponente, mentre il risultato della divisione viene “portato fuori”. Poiché 7/4 fa 1 con il resto di 3, avremo: 14·4√143 dove il coefficiente 14 deve intendersi elevato a 1 (che quindi viene omesso) perché 1 era il risultato della divisione fra 7 e 4.

 

Manuale di cultura generale – Matematica – Algebra – I radicali – Continua

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