I numeri razionali formano una classe; se consideriamo due insiemi di numeri razionali, diremo che essi formano due classi contigue se:
- ogni elemento della prima classe è sempre inferiore a ogni elemento della seconda classe (separazione);
- si può scegliere un elemento del primo insieme e un elemento del secondo insieme in modo che la loro differenza sia minore di un qualunque numero piccolo a piacere (avvicinamento indefinito).
Si può dimostrare che due classi contigue ammettono uno e un solo elemento separatore.
Si può visualizzare quanto appena detto facendo convergere le due serie di numeri verso il numero separatore. Per esempio, il primo insieme costituito da 3, 3,14, 3,141, 3,1415, 3,14159 ecc. (sono le approssimazioni successive del pi greco, il rapporto tra la misura della lunghezza della circonferenza e la misura della lunghezza del diametro di un cerchio; qui utilizziamo la nozione decimale, ma ovviamente potremmo scrivere i numeri come numeri razionali, per esempio: 3,14=314/100), mentre il secondo insieme lo otteniamo aggiungendo via via 1, 0,1, 0,01, 0,001 ecc.: 4, 3,15, 3,142, 3,1416, 3,14160. Le due classi sono contigue e il numero separatore che si ottiene è proprio il pi greco.
Si definisce numero reale l’elemento separatore di due classi contigue di numeri razionali.
Per quanto detto sopra, l’insieme dei numeri reali contiene quello dei razionali che a sua volta contiene quello degli interi che contiene quello dei numeri naturali.
Un numero reale non razionale è detto irrazionale (come, per esempio, la radice quadrata del numero 2).
Una volta definito il concetto di numero reale si può stabilire una relazione fra l’aritmetica e l’analisi e la geometria associando ai numeri reali i punti della retta reale (e viceversa) sulla quale i numeri negativi stanno a sinistra dell’origine (lo zero) e quelli positivi a destra.
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