I numeri naturali sono i numeri 1, 2, 3 ecc. Di ogni numero si può trovare il successivo fino all’infinito (indicato normalmente con ∞). Alla successione si premette usualmente lo zero (0).
I numeri naturali sono l’esempio più semplice di necessità degli assiomi in una teoria matematica. Un assioma è una proposizione o un principio che è assunto come vero in quanto evidente o perché crea il punto di partenza di una teoria. Per i numeri naturali valgono gli assiomi di Peano:
- Esiste un numero naturale, lo zero.
- Ogni numero naturale ha un numero naturale successore.
- Numeri diversi hanno successori diversi.
- Lo zero non è il successore di alcun numero naturale.
- Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di ogni proprio elemento coincide con l’intero insieme dei numeri naturali (assioma dell’induzione).
I primi quattro sono evidenti, mentre l’ultimo introduce un principio molto usato in matematica, il principio di induzione. L’idea intuitiva che ne sta alla base è quella dell’effetto domino: affinché le tessere allineate del domino cadano tutte è sufficiente che:
- cada la prima tessera;
- ogni tessera sia posizionata in modo tale che cadendo provochi la caduta della successiva.
In matematica, tale principio viene utilizzato al positivo:
se P è una proprietà che vale per il numero 0 e se dalla verità di P(n) discende quella di P(n+1), allora la proprietà P vale per ogni n.
Numeri negativi
La necessità di spostarsi a sinistra dello zero porta alla definizione di numero negativo. Per esempio, se su un conto bancario ci sono 100 euro e si stacca un assegno di 150 euro, il conto andrà a -50 euro con il segno meno che indica un conto in rosso, il debito verso la banca. Per definire i numeri negativi basta replicare specularmente attorno allo zero i numeri naturali:
…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …
L’insieme così definito (numeri naturali, zero e numeri negativi) costituisce l’insieme dei numeri interi. -3 è l’opposto di 3. Per maggiore chiarezza, i numeri naturali possono essere preceduti dal segno +, indicando che essi sono numeri positivi.
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