I numeri razionali possono essere usati in molte applicazioni pratiche, ma già da diversi secoli avanti Cristo si conoscevano grandezze che non potevano essere misurate con un numero razionale come, per esempio, la misura della diagonale di un quadrato rispetto al suo lato oppure la misura della circonferenza rispetto al suo raggio.
Solo verso la fine del XIX sec. Dedekind risolse il problema formalizzando i numeri reali. Infatti, in modo pratico possiamo definire i numeri reali come numeri ai quali si può attribuire uno sviluppo decimale finito o infinito. Per esempio, il numero razionale 1/2 siamo soliti indicarlo come 0,5. Formalmente, per i matematici, le cose sono più complesse e ai numeri reali essi arrivano in modo più preciso (oltre alla soluzione proposta da Dedekind, un’altra molto nota è quella proposta da Cauchy). Un modo per farlo è utilizzare semplici concetti geometrici.
Quando consideriamo un segmento geometrico possiamo definire i concetti di uguaglianza e di somma; i segmenti sono una classe di grandezze perché sono un insieme di enti per cui è possibile definire l’uguaglianza (congruenza) e la somma, ottenendo un risultato che fa parte ancora dell’insieme (in questo caso, un segmento). Per esempio, i quadrati non sono una classe perché la somma di due quadrati origina un rettangolo.
Nella vita quotidiana, tutti sappiamo misurare un segmento (e diciamo, per esempio, che un armadio è alto 2 m), ma cosa si intende per misura di un segmento AB (la misura si indica con AB soprasegnato)? In realtà, quando misuriamo l’altezza dell’armadio noi ci riferiamo a un secondo segmento della lunghezza convenzionalmente definita in 1 m.
Pertanto, la misura di una grandezza rispetto a un’altra è il numero di volte che la prima grandezza contiene la seconda. La prima grandezza può contenere la seconda un numero intero di volte oppure no; nel secondo caso si cerca una terza grandezza che è contenuta un numero intero di volte nelle prime due: la misura sarà il rapporto fra le misure della prima grandezza rispetto alla terza e le misure della seconda grandezza rispetto alla terza. Possiamo dire, per esempio, che la misura di A rispetto a B è 23/12.
Due grandezze si dicono commensurabili se è possibile definire la misura di una grandezza rispetto all’altra. Altrimenti si dicono incommensurabili. Per esempio, è possibile dimostrare che la diagonale di un quadrato è incommensurabile con il lato. Per esprimere la sua misura non potremo avvalerci dei numeri razionali (e dire, per esempio, che il lato è i 5/7 della diagonale), ma dovremo utilizzare i numeri reali.
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